지정된 초항과 공비와 범위로부터 등비수열의 합을 계산합니다.

초항과 공비와 계산하고 싶은 수열의 범위를 입력하고 “등비수열의 합계 계산”버튼을 클릭하면, 지정된 범위의 등비수열의 합계를 계산해 표시합니다.

또한 등비수열의 합을 구하는 계산 방법도 표시합니다.

초항과 공비은 15자리까지, n번째 수은 10,000까지 입력하세요.

등비수열이란, 인접하는 각각의 항의 비율이 동일한 수열을 말합니다.

수열의 처음 항을 초항이라고 하며, 각각의 인접 항의 비율을 공비라고 합니다.

예를 들어, 다음과 같은 수열은 첫항이 1이고 공비가 3인 수열이 됩니다.

공비가 3이므로, 인접하는 항의 비는 모두 “1:3”이 되어 있습니다.

첫항부터 n번째까지의 합

첫항부터 n번째까지의 합을 계산합니다.

첫항을 a 공비를 r로 하면, 수열은 이하와 같이 됩니다.

a, ar, ar², ar³ ... arⁿ⁻², arⁿ⁻¹

이 수열의 첫항부터 n번째까지의 합을 Sn으로 하면, Sn은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻² + arⁿ⁻¹

이 방정식의 양쪽에 r을 곱합니다.

rS_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ⁻¹ + arⁿ

이 두 표현식의 왼쪽과 오른쪽을 각각 뺍니다.

좌변은 S_n - rS_n가 되고, 우변은 도중의 부분이 모두 사라지므로, a - arⁿ가 됩니다.

S_n − rS_n = a − arⁿ

이것을 Sn에 대해 해결합니다.

S_n(1 − r) = a(1 − rⁿ)

S_n = a(1 − rⁿ)(1 − r)

따라서

r = 1 일 때 등비수열의 수는 모두 첫 항과 동일하므로 다음과 같습니다.

S_n= a + a + a + ... + a + a = na

따라서

n번째에서 m번째까지의 합

n번째에서 m번째까지의 합을 계산하는 경우도 마찬가지로 수열을 반대로 하여 양변을 더합니다.

좌변은 rS_m-n -S_m-n가 되고, 우변은 도중의 부분이 모두 사라지므로, ar^n-1 − ar^m입니다.

rS_m−n − S_m−n = arⁿ⁻¹ − ar^m

이것을 S_m-n에 대해 풀어 봅시다.

S_m−n(1 − r) = a(rⁿ⁻¹ − r^m)

S_m−n= a(rⁿ⁻¹ − r^m)(1 − r)

따라서

r = 1 일 때 등비수열의 수는 모두 첫 항과 동일하므로 다음과 같습니다.

S_m−n= a + a + a + ... + a + a = (m − n + 1)a

따라서