지정된 초항과 공차와 범위로부터 등차수열의 합을 계산합니다.

첫항과 공차와 계산하고 싶은 수열의 범위를 입력하고 “등차수열의 합계 계산”버튼을 클릭하면, 지정된 범위의 등차수열의 합계를 계산해 표시합니다.

또한 등차수열의 합을 구하는 계산 방법도 표시합니다.

초항과 공차은 15자리까지, n번째 수은 15자리까지 입력하세요.

등차수열이란, 인접하는 각각의 항의 차이가 동일한 수열을 말합니다.

수열의 처음 항을 첫항이라고 하며, 각각의 인접한 항의 차이를 공차라고 합니다.

예를 들어, 다음과 같은 수열은 첫항이 1이고 공차가 2인 수열이 됩니다.

공차가 2이므로 인접하는 항의 차이는 모두 2입니다.

첫항부터 n번째까지의 합

첫항부터 n번째까지의 합을 계산합니다.

첫항을 a₁ n번째의 수를 a_n 공차를 d로 하면, 수열은 이하와 같이 됩니다.

a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d ... a_n−d, a_n

이 수열의 첫항부터 n번째까지의 합을 Sn으로 하면, Sn은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

S_n = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + (a₁+3d) + ... + (a_n−d) + a_n

또, 이 수열의 순서를 반대로 한 수열을 생각했을 경우, 순서가 바뀔 뿐이므로 합계는 같게 됩니다.

따라서 Sn은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

S_n = a_n + (a_n−d) + (a_n−2d) + ... + (a₁+2d) + (a₁+d) + a₁

이 두 표현식의 왼쪽과 오른쪽을 각각 더합니다.

우변은 더한 수는 모두(a₁+a_n)가 되어 개수가 n개로 (a₁+a_n) × n으로 표현할 수 있으므로 2S_n = n(a₁ + a_n)입니다.

이 식의 양변을 2로 나누면 S_n = 12n(a₁ + a_n)입니다.

따라서

또한 n번째 수는 a₁ +(n - 1)d이므로 a_n = a₁ +(n - 1) d를 대입하면,
S_n = 12n(2a₁ +(n − 1)d)가 됩니다.

따라서

n번째에서 m번째까지의 합

n번째에서 m번째까지의 합을 계산하는 경우도 마찬가지로 수열을 반대로 하여 양변을 더합니다.

우변은 더한 수는 모두(a_n+a_m)가 되어 개수가 (m-n+1)개로 (a_n+a_m) × (m-n+1)로 표현할 수 있으므로 2S_m-n = (m-n+1) × (a _n+a_m)입니다.

이 식의 양변을 2로 나누면 S_m−n = 12(m−n+1)(a_n+a_m)입니다.

따라서